同时，皮亚诺的另一个贡献也是大大加强了我们的数学基础，那就是符号逻辑学。
有一首古老的英语民歌，描述走出野蛮的人类最常做的三件事：
***reading，读啊!
writing，写啊！
rithmetic，算啊！***（摘自丹齐克著《数科学的语言》第16页）
这三个最普通的人类行为，都和各个人群所使用的自然语言相关。而算啊！通常就是指的算术运算。这就把我们引向了算术，引向了数学家对于算术基础的研究。刚刚接触过德国的戴德金，现在，我们的算术旅程向东进发，从德国移向意大利，从德国的戴德金东行至意大利的数学家皮亚诺。
皮亚诺的算术理论，看他的那本《用新方法呈现的算术原理》一文，他给出了一套约定符号。皮亚诺的这个符号约定，把我的思路发散开了。如开首的那几句短诗，“读啊！写啊！”所言，这读的写的，常常不就是各自的母语，各种各样的自然语言么？我从算术的语言，很自然地想到了自然语言。
自然语言，包括其文字，其实就是一个约定，自然语言无非是某个共同地域人群，通过约定俗成而用于沟通的工具。无论哪一种自然语言，都是长时期不断通约的结果。到了近现代，国家权力与民族认同的需要，就出现周有光老先生谈论世界范围内的语言文字时，所言的诸多情形：
***新兴国家要求创制文字，多民族国家要求调整文字，文字不适用的国家要求改革文字，国际团体和国际会议要求规定公用文字。***（周有光《世界文字发展史》第21页）
这样，语言文字，因权力的参与而需要的约定就更多了。只要是语言文字，也就一概具有“公共”“公用”“共享”的意义在内。由此，因公共圈地的范围不同，而语言文字也就各不相同。周先生没有提到科学家所创制的语言文字，他仅就国家层面讨论自然语言的文字通约。如果把语言文字的范围放得更宽一些，近现代科学的符号体系，其实也是语言的范畴，就像人们把数字看作是科学的语言那样。皮亚诺为算术引入的一套符号结构，不就是一套算数语言么？不过，这个语言需要自然语言在其中同时参和才行，这就如同计算机语言一样，在自然语言基础上构造的计算机语言，才是人们可以理解的专业语言。
第一皮亚诺给最普通的算术做了一套符号语言。这个前面已经说了。不再赘述。
我要重点说的是第二：皮亚诺算术原理中的两个符号图表：逻辑的，算术的，还有关系的等等。
人类创造了近乎万种的自然语言，习用某种自然语言，就是去遵守某种语言约定。但从自然语言延伸到专业化的人工语言，你至少得遵守两重约定，一是自然语言的约定。你总是用自然语言来解释那些符号。你还还需要遵守进一步的约定，那个系统语言本身的约定。依据数学系统的本性，数学需要精准，自然语言却总是模糊多义，歧义连连，受到种种内外环境的制约。因此，这就总是引诱学者要想办法去掉自然语言的这个毛病，弗雷格的概念语言起源于此，皮亚诺的算术语言，这大概也是一个重要诱因。你要保证一个数学系统的协调一致，对于表达数学观念的字符，一定得需要相对精准的语词含义。其实这也有点公理的意味，大家约定好这个符号是个什么意思，就得遵守这个约定，不要超越这个约定的含义。所以，公理是大家都认可，无需证明就得集体遵守的规矩。
而符号的约定呢，也是一个公字，且称之为公约，大家全都约定要遵守的东西。
皮亚诺的符号约定，相当于自然语言的词典基本词汇。
有了基本词汇，然后就有了后面的那些句子，以及更多的派生词汇。（摘自《皮亚诺的算术，符号创造还是发现？过客与生命之树———读皮亚诺之二》）
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